В кубе ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 точки M и N — середины рёбер AB и AD соответственно.а) Докажите, что прямые B_1 N и CM перпендикулярны.б) Плоскость α проходит через точки N и B_1 параллельно прямой CM. Найдите расстояние от…

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 5 и диагональю BD = 9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE =…

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 6 2.а) Докажите, что эта пирамида правильная.б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM: MA = DN: NC = 1: 2. Найдите р…

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN: NC = SK: KC = 1: 2. Плоскость α содержит прямую KN …

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN: NC = SK: KC = 1: 3. Плоскость α содержит прямую KN …

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N пар…

Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём ∠ BAD + ∠ ADC = 90°. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K — точка пересечения прямых AB и CD.а) Докажите, что плоскости PAB …

Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причём AB = 2 2, BC = 4. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB.а) Док…

В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT: TD = 2: 1. Через точку Т параллельно прямым AC и BD…

В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT: TD = 1: 2. Через точку Т параллельно прямым AC и BD…

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 5 2.а) Докажите, что эта пирамида правильная.б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM: MA = DN: NC = 2: 3. Найдите п…

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K — середины рёбер AB и SC соответственно, а точки N и L отмечены на рёбрах SA и BC соответственно так, что отрезки MK и NL пересекаются, а AN = 3NS. а) …

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K — середины рёбер AB и SC соответственно. На продолжении ребра SB за точку S отмечена точка R. Прямые RM и RK пересекают рёбра AS и BC в точках N и L со…

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC, точка K делит ребро BC в отношении BK: KC = 3: 1, а AB = 2 и SO = 14. а) Докажите, что плоск…

В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 9. Точка лежит на ребре,, а точка лежит на ребре. Известно, что.а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости.б) Найдите площад…

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём,. Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точки и.а) Докажите, что пло…

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём,.а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости.б) Найдите объём пирамиды.

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём,.а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости.б) Найдите объём пирами…

В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 8. Точка — середина ребра. Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точки и. Прямая пересекает плоскость в точке.а) Докажите, чт…

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через ребро AB провели плоскость α, образующую сечение ABMN​, где точки M и N — точки пересечения плоскости α с боковыми рёбрами SC и SD соответственно. Известно, что AB = BM …

Плоскость α перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K. Сечение пирамиды плоскостью α является правильным треугольником площадью 4 3. а) Докажите, …

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD известно, что AB = 1. Через точку O пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC провели плоскость α. а) Докажите, что плоскость α проходит через вершины B и D. б…

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 4. Точка O — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SA и проходящая через точку O, пересекает рёбра SC и SD в точках M и N со…

Точка M — середина ребра SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD. Точка N лежит на ребре SB, SN: NB = 1: 2. а) Докажите, что плоскость CMN параллельна прямой SD. б) Найдите площадь сечения пирамид…

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC, равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на рёбрах SD и BC соответственно, причём SM: MD = 3: 2, BN: NC = 1: 2. Плоскость AMN пересекает ребро…

На ребре SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M, причём SM: MD = 2: 1. Точки P и Q — середины рёбер BC и AD соответственно.а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ являет…

На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM: MB = CN: NB = 1: 2. Точки P и Q — середины рёбер DA и DC соответственно.а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоско…

Точка M — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD. Точка N лежит на стороне основания BC. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA. а) Плоскость α пересекает боко…

В правильной треугольной призме ABC A_1 B_1 C_1 известно, что AB = 2. Плоскость α проходит через вершины A_1 и B и середину M ребра C C_1. а) Докажите, что сечение призмы ABC A_1 B_1 C_1 плоскостью α является равнобедре…

В правильной треугольной призме ABC A_1 B_1 C_1 отметили точки M и K на рёбрах A A_1 и A_1 B_1 соответственно. Известно, что A_1 M = 2MA, A_1 K = K B_1. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно грани AB B_1…

В основании прямой призмы ABC A_1 B_1 C_1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP: PB = 1: 3, а точка Q — середина ребра A_1 C_1. Через середину M ребра BC провели пло…

В основании прямой призмы ABC A_1 B_1 C_1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP: PB = 1: 3, а точка Q — середина ребра A_1 C_1. Через середину M ребра BC провели пло…

В основании прямой призмы ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 лежит параллелограмм ABCD с углом 60° при вершине A. На рёбрах A_1 B_1, B_1 C_1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно так, что четырёхугольник AMKN — равнобедренная т…

В основании прямой призмы ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A_1 B_1, B_1 C_1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B_1 K: K C_1 = 1: 2. Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеци…

В основании прямой призмы ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 3 и BC = 2. Точка M делит ребро A_1 D_1 в отношении A_1 M: M D_1 = 1: 2, а точка K — середина ребра D D_1. а) Докажите…

В основании прямой призмы ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 3 и BC = 2. Точка M делит ребро A_1 D_1 в отношении A_1 M: M D_1 = 1: 2, а точка K — середина ребра D D_1. а) Докажите…

В правильной треугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 4. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём.а) Точки и — центры окружностей, описанных около треугольников и соответственно. До…

В правильной треугольной призме ABC A_1 B_1 C_1 все рёбра равны, на ребре A A_1 отмечена точка M. Известно, что AM = 2M A_1. Через точки M и C_1 провели плоскость α перпендикулярно грани AB B_1 A_1. а) Докажите, что пло…

В основании прямой треугольной призмы ABC A_1 B_1 C_1 лежит равнобедренный ( AB = BC ) треугольник ABC. Точка K — середина ребра A_1 B_1, а точка M делит ребро AC в отношении AM: MC = 1: 3.а) Докажите, что KM ⊥ AC.б) На…

Дана правильная четырёхугольная призма ABCD A_1 B_1 C_1 D_1. Плоскость α проходит через вершины B_1 и D и пересекает рёбра A A_1 и C C_1 в точках M и K соответственно. Известно, что четырёхугольник M B_1 KD — ромб.а) До…

В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K. а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD. б) Найди…

На рёбрах BC, AB и AD правильного тетраэдра ABCD отмечены точки L, M и N соответственно. Известно, что BL: LC = AM: MB = AN: ND = 1: 2. а) Докажите, что плоскость α, проходящая через точки L, M, N, делит ребро CD в отно…

В прямоугольном параллелепипеде ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 известны длины рёбер: AB = 6 2, AD = 10, A A_1 = 16. На рёбрах A A_1 и B B_1 отмечены точки E и F соответственно, причём A_1 E: EA = 5: 3 и B_1 F: FB = 5: 11. Точка T…

В прямоугольном параллелепипеде ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 известны длины рёбер: AB = 2 2, AD = 6, A A_1 = 10. На рёбрах A A_1 и B B_1 отмечены точки E и F соответственно, причём A_1 E: EA = 3: 2 и B_1 F: FB = 3: 7. Точка T —…

В прямоугольном параллелепипеде ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 через середину M диагонали A C_1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB = 5, BC = 3, A A_1 = 4. а) Докажите, что плоскость α содержит точку D_1. б) …

На ребре A A_1 прямоугольного параллелепипеда ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 взята точка E так, что A_1 E: EA = 1: 2, на ребре B B_1 — точка F так, что B_1 F: FB = 1: 5, а точка Т — середина ребра B_1 C_1. Известно, что AB = 2, A…

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C_1, причём C C_1 — образующая цилиндра, а AC — диа…

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B_1 и C_1, причём B B_1 — образующая цилиндра, а отрез…

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C_1, причём C C_1 — образующая цилиндра, а AC — диа…

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B_1 и C_1, причём B B_1 — образующая цилиндра, а отрез…