В остроугольном треугольнике ABC высоты A A_1, B B_1 и C C_1 пересекаются в точке H. Через точку C_1 параллельно высоте B B_1 проведена прямая, пересекающая высоту A A_1 в точке K. а) Докажите, что AB ⋅ KH = BC ⋅ C_1 H.…

На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно.а) Докажите, что треугольники AEM и CMK подобны.б) Найдите …

На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно.а) Докажите, что ∠ AEM = ∠ CMK​. б) Найдите отношение площа…

В треугольнике ABC угол ACB равен 30°​, отрезки AH и AM — высота и медиана соответственно, причём точка H лежит на отрезке BM. Отрезок MQ — высота треугольника AMC, а прямые AH и MQ пересекаются в точке F​. Известно, чт…

В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM = BC и CN = AC.а) Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно. Докажите, ч…

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK: KC = 1: 2.а) Докажите, что ∠ BAC = 30°.б) Пусть прямые MK и BC пересека…

Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечены точки M и N соответственно так, что AM = MO, CN = NO. а) Докажите, что точки M, O и N лежат на одной …

Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. Через точку O провели прямую, параллельную основаниям BC и AD. а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой сторо…

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.б) Пусть O — точка пересечения диаго…

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.б) Найдите расстояние от вершины C д…

В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы ABM и DCM прямые.а) Докажите, что AM = DM.б) Найдите угол BAD, если угол ADC равен 70°, а расстояние от точки M до…

Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8.а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.б) Найдите высоту трапеции.

Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12.а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.б) Найдите высоту трапеции.

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции…

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции…

Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.а) Докажите, что CO = KO.б) Найдите отношение оснований трапец…

В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE. а) Докажите, что AL ⋅ BC = AB ⋅ AC. б…

В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причём точка P лежит на стороне AD, а точка Q — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM = BP, AB = BQ. а) Докажите…

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C_1, A_1 и B_1 соответственно, причём A C_1: C_1 B = 21: 10, B A_1: A_1 C = 2: 3, A B_1: B_1 C = 2: 5. Отрезки B B_1 и C C_1 пересекаются в точке D.а) Докажите, чт…

На сторонах, и треугольника отмечены точки, и соответственно, причём,,. Отрезки и пересекаются в точке.а) Докажите, что четырёхугольник — параллелограмм.б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если о…

На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK. а) Докажите, что AB: BC = AE: EK. б) Най…

Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM: MC = 1: 2, BN: ND = 1: 3. а) Докажите, что cos ∠ BAD = 1/5.б) Найдите площадь ромба, если MN = …

Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N​, причём AM: MC = 1: 2, BN: ND = 1: 3. а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1: 4. …

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.а) Докажите, что ∠ ABM = ∠ DBС = 30°.б) Найдите расстояние от центра п…

В квадрате ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K. а) Докажите, что ∠ BKM = 45°​. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK, если сторона A…

В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M.а) Докажите, что ∠ BAM = ∠ CAD.б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в т…

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соотв…

Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB. б) Найдите длину отрезка NO, если извест…

Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.а) Докажите, что ∠ ANB = 2 ∠ ABC. б) Найдите расстояние от точки N до прямой AB, если известно, что A…

В остроугольном треугольнике ABC угол BAC в два раза больше угла ABC. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Окружность, описанная около треугольника AOC​, пересекает отрезок BC в точках C и P. а)…

В остроугольном треугольнике ABC угол BAC в два раза больше угла ABC. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Окружность, описанная около треугольника AOC, пересекает отрезок BC в точках C и P. а) …

В треугольнике ABC продолжения высоты C C_1 и биссектрисы B B_1 пересекают описанную окружность в точках N и M соответственно, ∠ ABC = 40°​, ∠ ACB = 85°​. а) Докажите, что BM = CN. б) Прямые BC и MN пересекаются в точке…

В треугольнике ABC точки A_1, B_1 и C_1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠ BAC = 60°, ∠ BCA = 45°.а) Докажите, что точки A_1, B_1, C_1 и H лежат на одной окружности.б) Найдите A_1 H, если BC = …

В треугольнике ABC точки A_1, B_1 и C_1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠ BAC = 120°, ∠ BCA = 45°.а) Докажите, что точки A_1, B_1, C_1 и H лежат на одной окружности.б) Найдите A_1 H, если BC =…

В треугольнике ABC точки A_1, B_1 и C_1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠ BAC = 30°, ∠ BCA = 45°.а) Докажите, что точки A_1, B_1, C_1 и H лежат на одной окружности.б) Найдите A_1 H, если BC = …

В треугольнике ABC точки A_1, B_1 и C_1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠ BAC = 120°, ∠ BCA = 15°.а) Докажите, что точки A_1, B_1, C_1 и H лежат на одной окружности.б) Найдите A_1 H, если BC =…

В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.а) Докажите, что AH = AO.б) Найдите площадь …

В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.а) Докажите, что AH = AO.б) Найдите площадь …

В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что AM: MB = CN: NB = 2: 3. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке L. а) Докажите, что AB + BC = 4AC. б) Найдите…

Высоты B B_1 и C C_1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. а) Докажите, что ∠ B B_1 C_1 = ∠ BAH. б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B_1 C_…

Две окружности касаются внутренним образом в точке. Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая вторично пересекает бо́льшую окружнос…

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке. Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая вторично пересекает бо́л…

Периметр треугольника ABC равен 36. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC. а) Докажите, что AC = 9. б) Найдите площадь треугольника ABC, если ∠…

Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боко…

Окружность с центром O_1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O_2 касается сторон BC, CD и AD. Известно, что AB = 10, BC = 9, CD = 30, AD = 39.а) Докажите, что прямая O_1 O…

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию, касается её боковой стороны в точке. Луч вторично пересекает окружность в точке, а прямую — в точке, причём,.а) Докажите, что.б) Найдите основания трапеции.

Окружность проходит через вершины A, B и C параллелограмма ABCD, пересекает продолжение стороны AD за точку D в точке E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K.а) Докажите, что BK = BE.б) Найдите отноше…

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K.а) Докажите, что AE = AK.б) Найдите отношение KE: BD, если ∠…

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает сторону CD в точках K и D.а) Докажите, что AE = AK.б) Найдите AD, если CE = 10, DK = 9 и cos ∠ BAD = 0,2.

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N.а) Докажите, что AM = AN.б) Найдите отношение CD: DN, если A…