Новости
Пройдите опрос
Функционал
Стереометрия
Решения джентельменский набор
решение 2 части огэ
теория
структура задач
Полный доступ к платформе

Откройте все возможности ГИА Гайд и продолжайте подготовку без ограничений.

17. ♦️ Планиметрия

Подборка задач по теме 17. ♦️ Планиметрия для предмета Математика ЕГЭ Профиль. Ниже собраны прямые ссылки на задачи и обзор тем по предмету.

  • Задание 0063ED
    В остроугольном треугольнике ABC высоты A A_1, B B_1 и C C_1 пересекаются в точке H. Через точку C_1 параллельно высоте B B_1 проведена прямая, пересекающая высоту A A_1 в точке K. а) Докажите, что AB ⋅ KH = BC ⋅ C_1 H.…
  • Задание B5D2B2
    На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно.а) Докажите, что треугольники AEM и CMK подобны.б) Найдите …
  • Задание F2A2EB
    На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно.а) Докажите, что ∠ AEM = ∠ CMK​. б) Найдите отношение площа…
  • Задание e6Ac01
    В треугольнике ABC угол ACB равен 30°​, отрезки AH и AM — высота и медиана соответственно, причём точка H лежит на отрезке BM. Отрезок MQ — высота треугольника AMC, а прямые AH и MQ пересекаются в точке F​. Известно, чт…
  • Задание EF3DDA
    В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM = BC и CN = AC.а) Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно. Докажите, ч…
  • Задание 5E7BDE
    Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK: KC = 1: 2.а) Докажите, что ∠ BAC = 30°.б) Пусть прямые MK и BC пересека…
  • Задание B58CFA
    Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечены точки M и N соответственно так, что AM = MO, CN = NO. а) Докажите, что точки M, O и N лежат на одной …
  • Задание E87882
    Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. Через точку O провели прямую, параллельную основаниям BC и AD. а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой сторо…
  • Задание 832C34
    В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.б) Пусть O — точка пересечения диаго…
  • Задание 060A0A
    В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.б) Найдите расстояние от вершины C д…
  • Задание 4E19FD
    В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы ABM и DCM прямые.а) Докажите, что AM = DM.б) Найдите угол BAD, если угол ADC равен 70°, а расстояние от точки M до…
  • Задание 5259A1
    Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8.а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.б) Найдите высоту трапеции.
  • Задание 34E1B6
    Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12.а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.б) Найдите высоту трапеции.
  • Задание 00E23C
    Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции…
  • Задание 5CBC00
    Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции…
  • Задание 15EF35
    Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.а) Докажите, что CO = KO.б) Найдите отношение оснований трапец…
  • Задание FC6FD7
    В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE. а) Докажите, что AL ⋅ BC = AB ⋅ AC. б…
  • Задание 36ce6e
    В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причём точка P лежит на стороне AD, а точка Q — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM = BP, AB = BQ. а) Докажите…
  • Задание AC2684
    На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C_1, A_1 и B_1 соответственно, причём A C_1: C_1 B = 21: 10, B A_1: A_1 C = 2: 3, A B_1: B_1 C = 2: 5. Отрезки B B_1 и C C_1 пересекаются в точке D.а) Докажите, чт…
  • Задание 4F4F44
    На сторонах, и треугольника отмечены точки, и соответственно, причём,,. Отрезки и пересекаются в точке.а) Докажите, что четырёхугольник — параллелограмм.б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если о…
  • Задание 003F6E
    На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK. а) Докажите, что AB: BC = AE: EK. б) Най…
  • Задание 78A6C2
    Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM: MC = 1: 2, BN: ND = 1: 3. а) Докажите, что cos ∠ BAD = 1/5.б) Найдите площадь ромба, если MN = …
  • Задание E80769
    Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N​, причём AM: MC = 1: 2, BN: ND = 1: 3. а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1: 4. …
  • Задание FAAE63
    Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.а) Докажите, что ∠ ABM = ∠ DBС = 30°.б) Найдите расстояние от центра п…
  • Задание 86B99A
    В квадрате ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K. а) Докажите, что ∠ BKM = 45°​. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK, если сторона A…
  • Задание B3890A
    В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M.а) Докажите, что ∠ BAM = ∠ CAD.б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в т…
  • Задание BE8FE4
    Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соотв…
  • Задание 6B82FF
    Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB. б) Найдите длину отрезка NO, если извест…
  • Задание 8377A1
    Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.а) Докажите, что ∠ ANB = 2 ∠ ABC. б) Найдите расстояние от точки N до прямой AB, если известно, что A…
  • Задание 0e9DD3
    В остроугольном треугольнике ABC угол BAC в два раза больше угла ABC. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Окружность, описанная около треугольника AOC​, пересекает отрезок BC в точках C и P. а)…