В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = C…

В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причём точка P лежит на стороне AD, а точка Q — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Изв…

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C_1, A_1 и B_1 соответственно, причём A C_1: C_1 B = 21: 10, B A_1: A_1 C = 2: 3, A B_1: B_1 C = 2: 5. Отрезки B B_1 и C C_…

На сторонах, и треугольника отмечены точки, и соответственно, причём,,. Отрезки и пересекаются в точке.а) Докажите, что четырёхугольник — параллелограмм.б) Найдите радиус окружнос…

На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK. …

Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM: MC = 1: 2, BN: ND = 1: 3. а) Докажите, что cos ∠ BAD = …

Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N​, причём AM: MC = 1: 2, BN: ND = 1: 3. а) Докажите, что прямая MN д…

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.а) Докажите, что ∠ ABM = ∠ DBС…

В квадрате ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K. а) Докажите, что ∠ BKM = 45°​. б) Найдите радиус окружности, описанно…

В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M.а) Докажите, что ∠ BAM = ∠ CAD.б) …

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают…

Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB. …

Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.а) Докажите, что ∠ ANB = 2 ∠ ABC. б) Найдите расстояние от то…

В остроугольном треугольнике ABC угол BAC в два раза больше угла ABC. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Окружность, описанная около треугольника AOC​, …

В остроугольном треугольнике ABC угол BAC в два раза больше угла ABC. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Окружность, описанная около треугольника AOC, п…

В треугольнике ABC продолжения высоты C C_1 и биссектрисы B B_1 пересекают описанную окружность в точках N и M соответственно, ∠ ABC = 40°​, ∠ ACB = 85°​. а) Докажите, что BM = CN…

В треугольнике ABC точки A_1, B_1 и C_1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠ BAC = 60°, ∠ BCA = 45°.а) Докажите, что точки A_1, B_1, C_1 и H лежат на одной…

В треугольнике ABC точки A_1, B_1 и C_1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠ BAC = 120°, ∠ BCA = 45°.а) Докажите, что точки A_1, B_1, C_1 и H лежат на одно…

В треугольнике ABC точки A_1, B_1 и C_1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠ BAC = 30°, ∠ BCA = 45°.а) Докажите, что точки A_1, B_1, C_1 и H лежат на одной…

В треугольнике ABC точки A_1, B_1 и C_1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠ BAC = 120°, ∠ BCA = 15°.а) Докажите, что точки A_1, B_1, C_1 и H лежат на одно…

В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.а) Д…

В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.а) Д…

В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что AM: MB = CN: NB = 2: 3. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке L. а)…

Высоты B B_1 и C C_1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. а) Докажите, что ∠ B B_1 C_1 = ∠ BAH. б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треу…

Две окружности касаются внутренним образом в точке. Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Пря…

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке. Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соотве…

Периметр треугольника ABC равен 36. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC. а) Докажите, что AC = 9. б) …

Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.б) Найдите высоту т…

Окружность с центром O_1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O_2 касается сторон BC, CD и AD. Известно, что AB = 10, BC = 9, CD = 3…

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию, касается её боковой стороны в точке. Луч вторично пересекает окружность в точке, а прямую — в точке, причём,.а) Докажите, что.б) Н…

Окружность проходит через вершины A, B и C параллелограмма ABCD, пересекает продолжение стороны AD за точку D в точке E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K.а)…

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K.а) Докажите, что AE …

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает сторону CD в точках K и D.а) Докажите, что AE = AK.б) Найдите AD…

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N.а) Докажите, что AM …

На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC. б) Найдите радиус вписа…

Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересе…

Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересе…

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1.б) Вычис…

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1.б) Вычис…

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1.б) Вычис…

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1.б) Вычис…

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1 б) Вычис…

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1 б) Вычис…

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP: PB = CQ: QB = CW: WD = 3: 4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW…

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP: PB = CQ: QB = CW: WD = 1: 4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW…

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB = BC = CD = 12.а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.б) Найдите AD.

В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что ∠ MNK = 90°​, ∠ NKL = ∠ KLM = 120°​. а) Докажите, что точка A ле…

В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что ∠ MNK = 90°​, ∠ LMN = ∠ KLM = 60°​. а) Докажите, что точка A леж…

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB = CD = 3, BC = DE = 4. а) Докажите, что AC = CE. б) Найдите длину диагонали BE, если AD = 6.

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Диагонали AD и BE пересекаются в точке M. Известно, что BCDM — параллелограмм.а) Докажите, что BC = DE. б) Найдите длину стороны AB, если и…