В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 21 %.а) Может ли в этом классе быть 5 девочек?б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка?в) В этот класс при…

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой - то юноша отправил…

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 75 % от об…

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 25 % от об…

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в …

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в …

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест б…

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест б…

Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, дли…

Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей.а) Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей?б) Можно ли этими монетами набрать сумму 176 рублей?в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно доба…

Есть 4 камня, каждый массой 7 тонн, и 9 камней, каждый массой 22 тонны.а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила 8 тонн?б) Можно ли разложить вс…

Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй — 104, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.а) М…

Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое коли…

Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа — n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию б…

На доске написано единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки « + » и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136:.а) Можно ли получить сумму 132, если?б)…

На доске написано единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки « + » и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136:.а) Можно ли получить сумму 113, если?б)…

Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны 45.а) Может ли сумма такой пары чисел…

Над парами целых чисел проводится операция: из пары a; b получается пара 3a + b; 3b − a.а) Можно ли из какой - то пары получить пару 5; 5?б) Верно ли, что если пара c; d может быть получена из какой - то пары с помощью …

Из пары натуральных чисел ( a; b ) за один ход можно получить пару ( a + 2; b − 1 ) или ( a − 1; b + 2 ) при условии, что оба числа в новой паре положительны. Сначала есть пара ( 5; 7 ).а) Можно ли за 50 таких ходов пол…

Из пары натуральных чисел, где, за один ход получают пару.а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары пару, большее число в которой равно 400?б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары пару?в) Какое…

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в преды…

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в преды…

Ваня написал на доске трёхзначное число A. Петя переписал это число A, вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число B. Коля тоже переписал это число A, вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что…

Для чисел A и B, состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют S — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел A = 123 и B = 579 получается сумма S = 1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 7 + 3 ⋅ 9 = 46.а) Существуют ли тр…

На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на 20.а) Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел, делящихся на 21?б) Могло ли среди записанных ч…

На доске записано k последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23.а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20?б) Мог…

Из правильной несократимой дроби a/b, где a и b — натуральные числа, за один ход получают дробь a + b/2a + b.а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби 1/3 получить дробь 22/31?б) Можно ли за два таких хода из некото…

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S. а) Может ли S быть равной 16 5/6?б) Может ли S быть равной …

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу…

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу…

На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны…

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающих…

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.а) Может ли на доске быть ровно 24 чётных числа?б) Мо…

На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5120.а) Может ли оказаться, что на доске написано число 230?б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 14?в) Какое наименьшее количество чисел, к…

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее арифметическое шести наибольших равно 12.а) Может ли наибольшее из этих десяти чисел равняться 14?б) Мо…

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?б) Мож…

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?б…

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом.а) Могут ли среди записанных на доске чисел од…

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел из записанных является целым числом.а) Могут ли среди записанных на доске чисел однов…

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 3…

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 3…

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 4 и 9 (возможно, только одна из этих цифр).а) Может ли сумма этих чисел быть равна 107?б) Может ли сумма этих чисел быть …

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.а) Может ли на доске быть 5 чисел?б) Может ли на доске быть 6 чисел?в) Какое наибольшее значение может п…

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 25 и меньше 85.а) Может ли на доске быть 5 чисел?б) Может ли на доске быть 6 чисел?в) Какое наибольшее значение может пр…

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 60 и меньше 140.а) Может ли на доске быть 5 чисел?б) Может ли на доске быть 6 чисел?в) Какое наименьшее значение может п…

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 45 и меньше 120.а) Может ли на доске быть 5 чисел?б) Может ли на доске быть 6 чисел?в) Какое наименьшее значение может п…

По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 400. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 3, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на 3.а) Может ли N быть р…

По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 365. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.а) Может ли N быть равным 20…

По окружности в некотором порядке расставлены натуральные числа от 1 до 12. Между каждыми двумя соседними числами написали модуль их разности. Затем исходные числа стёрли.а) Приведите пример расстановки, когда сумма пол…

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300?б) Могло ли в результате такой о…